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斜めに投げ上げた物体の位置座標の計算

ゲームプログラミング

1. はじめに

この記事では，物体を斜めに投げ上げた物体の位置座標の計算式を導出する．また，力学を用いて導出する．

2. 鉛直方向に関する計算

鉛直上向きを正とする．重力加速度を $g$ とする．鉛直方向の初速度を $v_{0y}$ とすると，

$v_y=v_{0y}-gt\tag{1}$

打ち上げた時の高さを $y_0$ とすると，

$y=y_0+v_{0y}t-\frac{gt^{2}}{2}\tag{2}$

と表される．

ここで，打ち上げた時に最大の高さになるのは， $v_y=0$ の時だから，この時の時刻を $t_1$ とすると， $(1)$ 式より，

$0=v_{0y}-gt_1$

であり，

$t_1=\frac{v_{0y}}{g}\tag{3}$

となる．

また，時刻 $t_1$ の時の高さは最大であり，これを $y_1$ とすると， $(2)$ 式より，

$y_1=y_0+v_{0y}t_1-\frac{g{t_1}^{2}}{2}$

$(3)$ 式を代入すると，

$y_1=y_0+\frac{{v_{0y}}^2}{2g}$

これを解くと，

${v_0}^2=2g(y_1-y_0)$

$v_0>0$ だから，

$v_0=\sqrt{2g(y_1-y_0)}$

これを $(2)$ 式に代入すると，

$y=y_0+\sqrt{2g(y_1-y_0)}t-\frac{gt^{2}}{2}\tag{4}$

が得られる．

以上をまとめると，

最大の高さ $y_1$ が決まっている場合 $y=y_0+\sqrt{2g(y_1-y_0)}t-\frac{gt^{2}}{2}$