1. はじめに

この記事では，3D座標を2D座標に変換し，3D空間上の物体を2D画面上に描画する事を目的とする．

2. 2次元座標(スクリーン)とスクリーン前方の3次元座標との位置関係

まず，3次元座標を2次元座標に変換するために，表示する2次元座標であるスクリーンとスクリーン前方の3次元座標との位置関係について考える．図1に，スクリーンと3次元座標の位置関係を示した $z-y$ 座標を示す．

図1 透視投影の図示(「AS3.0で3Dプログラミングを1から勉強する(3)-透視投影」(1))より

図1にある焦点とはプレイヤーの目の事であり，ここから3次元空間を眺めた時にうつる視界を，スクリーンとして2次元画面上に描画する．この図にあるように，3次元空間上の点 $P_1(z,y)$ は，スクリーン上の点 $(z_s,y_s)$ に映る．したがって，これらの位置関係から以下の比の関係が導かれる．ここで，焦点の座標は点 $(z_f,0)$ である．

$y_s:y=(z_s-z_f):(z-z_f)$

$y_s=y\cdot\frac{z_s-z_f}{z-z_f}\tag{1}$

また， $z-x$ 座標についても同様に考えると，

$x_s:x=(z_s-z_f):(z-z_f)$

$x_s=x\cdot\frac{z_s-z_f}{z-z_f}\tag{2}$

ここで，プレイヤーの視点である焦点の座標を $z-y$ 座標と $z-x$ 座標の原点 $(0,0)$ であると考えると，

$z_f=0$

であるから， $(1)$ 式と $(2)$ 式は，

$y_s=y\cdot\frac{z_s}{z}\tag{3}$

$x_s=x\cdot\frac{z_s}{z}\tag{4}$

となる．

また，計算を簡易にするために，焦点からスクリーンまでの距離 $z_s=1.0$ とする(すなわち，自分の視点から1.0だけ前の $x-y$ 座標が画面上に映し出される．)と， $(3)$ 式と $(4)$ 式は，

$y_s=\frac{y}{z}\tag{5}$

$x_s=\frac{x}{z}\tag{6}$

と表される．

図2に，この時の位置関係を示す．

以上により，スクリーン上の座標と3次元座標との位置関係が示された．

3. スクリーン上の座標と描画する画面の座標との位置関係

これまでに，スクリーン上の座標と3次元座標との位置関係を示した．次に，スクリーン上の座標を実際に描画する画面上に映す事を考える．

描画する画面の横幅を $width$ ，縦幅を $height$ とする．

また，実際に描画する画面上の $x$ 軸， $y$ 軸上の任意の座標を $x'$ ， $y'$ とし，今まで考えて来たスクリーン上の座標は同様に $x_s$ ， $y_s$ と表すとする．

そして，焦点の $x$ 軸に関する視野角を $\phi_0$ ， $y$ 軸に関する視野角を $\theta_0$ とすると，原点 $(0,0)$ を実際に描画する画面の中心として，実際に描画する画面上の横幅の半分 $\frac{width}{2}$ ，縦幅の半分 $\frac{height}{2}$ に対応するスクリーン上の座標は，

$\tan\theta_0$ ， $\tan\phi_0$ と表される．

したがって，

$y':\frac{height}{2}=y_s:tan\theta_0\tag{7}$

$x':\frac{width}{2}=x_s:tan\phi_0\tag{8}$

が成り立つ.

$(7)$ 式と $(8)$ 式をそれぞれ $x'$ ， $y'$ について解くと，

画面上に描画する座標 $y'=\frac{y_s\cdot height}{2\cdot tan\theta_0}$
$x'=\frac{x_s\cdot width}{2\cdot tan\phi_0}$

となる．

4.　回転時の座標

次に，プレイヤーが回転した時に，スクリーンに映し出される画面について考える．プレイヤーがY軸を中心に $-\phi\circ$ 回るということは，動かないプレイヤーのY軸を中心に周囲の物体が $\phi\circ$ 回っていると考える事が出来る．実際に周囲の物体の座標を移動するのではなく，物体を描画する上でそのように考える．回転行列を用いて(2)計算を行うと