1. はじめに

この記事では，音ゲーにおける、楽曲に進行に伴う譜面の描画位置を導出する．

2. 譜面が時間に伴って動かない時の音符の位置

まず，音ゲーの譜面が楽曲の進行に伴って動かない状態について考える．はじめに，BPM(Beats per minute)とは1分間あたりの4分音符の数の事である．したがって，1拍，すなわち4分音符の時間の長さは

$\frac{60\cdot1000}{BPM}[ms$ ]

と表される．

また，この時に画面に表示される，4分音符の時間の長さに対応する画面上の描画距離を $B$ とする．次に，楽曲の再生位置が $X[ms$ ]である時の長さに対応する画面上の描画距離を $A$ とする．この時，

$A:B=X:\frac{60\cdot1000}{BPM}$

$A\cdot\frac{60\cdot1000}{BPM}=B\cdot X$

$A=\frac{BPM\cdot B\cdot X}{60\cdot1000}$

が成り立つ．

次に，譜面が楽曲の進行に伴って動く場合について考える．楽曲の現在再生時刻を $X_0[ms$ ]とおき， $X=X_0[ms$ ]の時に画面上の描画位置が $A=0$ となるとすると，

$A=\frac{BPM\cdot B\cdot (X-X_0)}{60\cdot1000}$

これで，楽曲の時間が進むにつれて，設定した再生位置の音符が移動する事になる．これを， $C$ だけ全体を平行移動する事を考えると，

音符の描画位置 $A=\frac{BPM\cdot B\cdot (X-X_0)}{60\cdot1000}+C$

と表す事が出来る．これで，譜面の音符の描画位置を計算する事が出来る．

また，譜面において，N小節目のM個目( $M=0,1,2,3,4,5,6,7$ )の再生時刻 $X_{N,M}$ は， 8分音符の長さに，譜面の位置を掛け合わせたものになるから，

$\frac{60\cdot1000}{2\cdot BPM}\cdot(8N+M)$

と表される．